ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ. АВИАЦИОННОЙ ТЕХНИКИ

3.1. Оценка вероятностных характеристик
случайной последовательности,
заданной небольшим числом реализаций

Основой для назначения технического обслуживания ЛА и установленного на них оборудования является оценка вероятности <Q*(t) достижения реализацией х:’ недопустимой области в течение времени і. Вычисление.

вероятности Qi (t) эквивалентно вычислению прогноза л

xh определяющего параметра в момент t=iM и оценке точности этого прогноза. Таким образом, прогноз опре-

л

делающего параметра х служит главной оценкой изме­нения технического состояния, на основе которой может быть назначена программа обслуживания, оптимальная по любому критерию.

Решение задачи прогнозирования определяющего параметра распадается на ряд этапов. Сначала необхо­димо оценить изменение в процессе эксплуатации мате­матического ожидания щ и дисперсии (щ)2 наблюдае­мого процесса, так как они, как правило, заранее не из­вестны. Методика соответствующих расчетов дана в § 2.3. Затем нужно установить тесноту статистической связи отдельных измерений на одной реализации, т. е. оценить спектральную плотность f (%) наблюдаемого случайного процесса Xi. При известных вероятностных характеристиках щ, щ и f(k) наблюдаемого процесса Хі

а

нетрудно рассчитать прогноз xU-

л

Поскольку прогноз х — основа для назначения про­граммы обслуживания, правильная организация техни­ческой эксплуатации не встретит больших трудностей, если известно корректное описание определяющего па­раметра как случайного процесса. Это описание необхо­димо получить на основании только тех данных, кото­рые становятся известны при реальном эксплуатацион­ном контроле. Статистическая обработка результатов контроля параметра на однотипных объектах {х3’і} дает необходимые сведения о щ, сп, f (А.).

В алгоритме обработки реальных исходных данных, предлагаемом в данной главе, используется тот же прием статистической проверки гипотез, что и в § 2.3. О струк­туре и характере наблюдаемых временных последователь­ностей выдвигается ряд гипотез Я0, Hi, таких, что ■каждая более сложная гипотеза включает предыдущую как частный случай. Строится статистический критерий проверки гипотезы #е, и он применяется последователь­но ко всем гипотезам при 0 = 0, 1… Первая гипотеза Я;, которая подтверждается с выбранным заранее уров­нем значимости а, принимается в качестве рабочей при дальнейших расчетах статистических характеристик наблюдаемых случайных процессов.

Применяемая методика подбора статистических ха­рактеристик,: наиболее соответствующих исходному. ма­териалу, позволяет избежать многих ограничений на тип изучаемых процессов х,-. Единственная исходная предпосылка о нормальном распределении значений xh при фиксированной наработке (при і = const) не может быть причиной сколько-нибудь значительных ошибок.

Считается, что эффект старения, одинаковый для всех эксплуатируемых объектов, уже учтен в том смысле, что определены изменения во времени математического ожидания и среднего квадратического отклонения пара­метра х. Поэтому здесь в качестве характеристики тех­нического состояния объекта используются приведенные значения определяющего параметра

— М-О’/ш. (3.1)

где х>’г — результаты измерения параметра на j-м объекте в г’-й момент времени; р, —сглаженное математическое ожидание; 0, — сглаженное среднее квадратическое отклонение.

Приведение упрощает дальнейшие выкладки, по­скольку позволяет считать, что изучается процесс с нулевым математическим ожиданием и единичной дис­персией. Кроме того, исключение временного тренда и выравнивание разброса почти всегда исключают неста — ционарность наблюдаемого процесса х;.

Для реализации индивидуального предсказания тех­нического состояния каждого конкретного /-го объекта

очень важно решить, какое значение памяти о прошлом

л

необходимо иметь при построении прогноза xh. Дейст­вительно, в условиях эксплуатирующей организации, по-видимому, не удастся организовать прогнозирование параметров, если для этого требуются учет и обработка всего массива результатов контроля объектов авиатех­ники за всю историю их эксплуатации. Это трудно сде­лать даже в том случае, если расчеты проводятся не вручную, а в АСУ. Память ЭВМ, установленной в нижнем звене АСУ, должна иметь достаточный объем для хранения необходимых при прогнозировании резуль­татов контроля всех параметров оборудования ДА; экс­плуатируемых в авиаотряде. На объем этой памяти решающее влияние оказывает число измерений I, кото­рое надо учитывать при прогнозировании изменения па­раметра.

При изучении связи отдельных измерений гауссов­ской случайной последовательности £г принимаем, что ее структура соответствует соотношению:

і

£;= 2 р0 ^г— 0 + Е<> (3.2)

6=1

где Ре — коэффициенты авторегрессии / — максимальный поря­док регрессионной связи; е — независимые по і случайные ошибки.

Авто регрессионная модель :(3.2) процесса і хорошо соответствует физическим ограничениям на процессы изменения параметров авиационной техники. Спектраль­ная плотность последовательности, удовлетворяющей соотношению (3.2), имеет, выражение (2.7).

Если по реальным исходным данным найти коэффи­циенты і|3е, определяющие спектральную плотность наблюдаемых в эксплуатации случайных процессов, то задача предсказания изменения будет решена. Эти коэффициенты равны для авторегрессионных процессов

весам уе, с которыми надо учитывать результаты пре-

л

дыдущих измерений при подсчете у,- — наилучшего в среднеквадратическом смысле линейного прогноза:

‘ л.

= 2 Те tf-e. (3-3)

е=1

где у е — коэффициенты, характеризующие зависимость от

ПРОШЛОГО, Т. Є. ОТ |г_1, Іі-2, ,..

Формула — (3.3) следует из модели наблюдаемого процесса (3:2). В дальнейшем для процессов типа (3.2) можно считать §6 =у в-

Оценки для Ре получаются как решения линейных систем уравнений. Правая часть и матрица коэффициен­тов этих уравнений задаются экспериментальными зна­чениями корреляционной функции Л’р, подсчитываемыми по имеющимся исходным данным о результатах эксплу­атационного контроля:

1 N N ^

где Rfp — оденка корреляционной функции при значении аргу­мента р по одной реализации £3; Rp — осредненная оценка корреля­ционной функции по всем данным {£3j}. Она получается с наиболь­шей точностью, так как строится по всем реализациям.

Поскольку Rv — четная функция, в дальнейших фор­мулах аргумент р всегда рассматривается по модулю.

Для вывода уравнений, определяющих i(3e, достаточ­но умножить левую и правую части (3.2) на &і+р и, про­суммировав по всем /, получить

Поскольку всегда можно считать ір0= 1, система (3.6) полностью определяет коэффициенты ‘Ре и, следователь­но, вид спектральной плотности (2.7) и прогноз (3.3).

По реальным исходным данным получаются не нуле­вые значения оценок ‘(3.5) для корреляционной функции RP при любых, даже больших р. Поэтому систем типа

(3.6) можно выписать много и найти немало вариантов представления спектральной плотности f(R). Задача станет однозначной только в том случае, если задать величину I. Выбрать наиболее соответствующее имею­щимся сведениям об изменении параметра {xh} число І можно на основании статистического анализа оценок для Rp. Действительно, правильно ли назначено число 1> можно проверить статистически, если убедиться, что из наблюдаемых последовательностей используя рассчи­танные фэ, можно получить последовательность Є; неза-

I

ВИСИМЫХ ПО і случайных величин: р0 |г-_0.

0 = 0

Для проверки независимости е/ может быть предло­жен следующий статистический критерий [23]:

N U

Wi= 2 2 (Lj — р— ‘1)Х

/=і р=і+1

Если статистика Wi укладывается в квантиль рас­пределения х2 с уровнем значимости а и с числом степе-

N

ней свободы л>= 2 {U — I—1), то гипотеза о том, что ;=>1

£г зависит от I предыдущих значений g;-i, .|г-2,… ., £г-г, должна быть принята с уровнем доверия а.

Поскольку с ростом I точность решения системы

(3.6) для отыскания фе по реальному исходному мате­риалу ухудшается, для прогнозирования следует стре­миться выбрать наиболее простую модель процесса Следовательно, аппроксимировать спектральную плот­ность f(X) надо полиномом той наименьшей степени I, при которой статистика (3.7) удовлетворяется. Исполь­зование для выравнивания полиномов более высокой степени (что повлечет за собой учет при предсказании xU более ранних, чем xh-u результатов измерений пара­метра х на /-м объекте) может увеличить ошибку в определении коэффициентов Ре и значительно затруд­нит расчеты при вычислении прогноза в условиях экс­плуатирующей организации.

При использовании для прогноза формулы (3.3) среднее квадратическое значение ошибки прогноза сь будет меньше, чем средний квадратический разброс от* результатов контроля. Выигрыш здесь можно оценить по формуле ‘[18]:

R0R,… Ri+i

л…………..

_ Ri+iRi… Rq RoR і ■ •. Rt

RiRi—i… Ro

Вместо расчетов. по формуле (3.8) при 1^.2 можно воспользоваться. номограммой (рис. 3.1), позволяющей оценить выигрыш в зависимости от значения коэффи­циентов корреляции. Номограмма получена из урав­нения

(Т=[(1—Я*,) (2-2Я2)-(1-Я)2/(1—R2i)], (3.9)

являющегося записью формулы ‘(3.8) при 1=1. Уравне­нию (3.9) соответствует семейство — эллипсов, изобра­женных на номограмме рис. 3.1. По ней оценку выигры­ша получаем, даже не прибегая к отысканию fie и рас-
•чету пропиша. Для опреде­ления уменьшения ошибки при лірошдащр’оів’аінии с уче­том двух измерений {1—2} вычисляется отношение К!0- зффіищишгов корреляции iRi/Ri — На номовраімме огасто — яиным значениям R2IR1 со­ответствуют мервдион а льные ілиінии. Отложив эначеии е Ri ■на оои абопрсС и зная ука — занное отношение, можно определить на оои ординат

ра авиадвигателя. После об­работки результатов ‘экс­плуатационного контроля этого параметра і? і = 0,44; 7^2 = 0,17; R2/Ri = 0,4. Таким характеристикам статисти­ческой связи отдельных измерений на одном и том же двигателе соответствует о=0,75. Уменьшение среднего’ квадратического разброса до 0,75 будет достигнуто при

В случае учета при прогнозе одного последнего изме­рения можно определить выигрыш по той же номограм­ме. При этом меридиональные линии не используются, а из точки оси абсцисс, соответствующей значению Rь восстанавливают перпендикуляр до пересечения с дугой окружности. По ординате точки пересечения и оценива­ют уменьшение разброса а при индивидуальном прогно­зировании. Например, при учете только одного измере­ния частоты вращения ротора авиадвигателя выигрыш

эксплуатации, при существующей периодичности конт­роля нет смысла учитывать в прогнозе более двух ре­зультатов предыдущих измерений. В табл. 3 приведены результаты оценки статистической связи отдельных измерений на одном и том же объекте авиатехники для ряда параметров, контролируемых в процессе эксплуа­тации. Во второй. колонке таблицы даны значения Rpf полученные по формуле (З. б), в третьей — результаты решения систем уравнений (3.6) для отыскания, коэф­фициентов, определяющих спектральную ‘ПЛОТНОСТЬ и наилучший линейный прогноз. Последние колонки со-

держат оценки соответствия модели типа (3.2) реаль­ным процессам, образуемым результатами эксплуата­ционного контроля. Соответствие проверялось по кри­терию Wi, даваемому формулой (3.7). Варианты пред­ставления реальной спектральной плотности выражени­ем (‘2.7), которые соответствуют имеющимся исходным данным {х^}, в табл. 3 выделены.

■Как видно из приведенных в табл. 3 результатов обработки реальных данных, модель авторегрессии удовлетворительно описывает реальные случайные про­цессы, наблюдаемые при эксплуатации авиатехники.

‘Зависимость более чем от двух предыдущих значений (/>2) при принятых в настоящее время интервалах контроля Д7=.25-н100 ч ни для одного из рассматривае­мых параметров не характерна. Для некоторых пара­метров статистической связи между рядом стоящими результатами эксплуатационного контроля конкретного объекта авиатехники нет. Например, с высокой вероят­ностью (1—а>0,8) независимы отклонения от матема­тического ожидания результатов измерений удельно­го расхода топлива на одном и том же двигателе.

Увеличение точности прогноза при учете авторегрес­сии в практических расчетах характеризуется тем, что среднее квадратическое значение ошибки прогноза мо­жет составить 0,3—0,5 от среднего квадратического значения от*. Получить больший эффект при обработке реального статистического материала не удается из-за слабых статистических связей измерений. Но и такой выигрыш часто является существенным. Например, поле допуска для частоты вращения ротора авиадвигателя сравнимо со средним квадратическим значением щ, поэтому уменьшение разброса ожидаемого значения частоты. вращения до 0,7(7* за счет прогнозирования де­лает эксплуатацию авиадвигателя более безопасной.

Как видно из табл. 3.1, для случайного процесса, образуемого результатами измерений дрейфа инерциаль­ной курсовертикали, модель типа (3.2) со связью толь­ко па один шаг удовлетворительна. Можно улучшить степень соответствия модели имеющимся исходным данным, если не ограничиваться рассмотрением только процессов авторегрессионного типа, а считать допусти­мой модель более общего вида:

(ЗЛО)

где pj —коэффициенты авторегресии; Pg —веса суммирования для независимых (чисто регулярных) составляющих Єї_о ; ^-^мак­симальный порядок авторегрессионной составляющей в k — по­

рядок процесса скользящего суммирования, при котором математи­ческая модель наблюдаемого процесса хорошо соответствует ре­зультатам. наблюдений {|Ц}.

Спектральная плотность f (X) последовательности, удовлетворяющей (3.10), представляется дробно-линей — ной функцией (2.5). Выравнивание экспериментально полученной плотности с помощью аналитического вы­ражения (2,5) решает задачу предсказания течения ‘gi­ll т известных фо и рз’о можно вычислить коэффициен­ты ув оптимального линейного прогноза (3.3).

Для фІ0 легко получить линейную систему уравнений, если умножить (3.10) на gh+p при больших p>h:

U

2 Ре *р-ъ = (3-И)

в=о

р—12"Ь1, ^2“Ь2, . . . ,

■Система (3.11) эквивалентна ранее выписанной сис­теме (3.6), так как при р>4 значения корреляционной функции RP случайной последовательности gi зависят лишь от фе. Получив ее решения ф’о, ф’ь • • • , Р1;, (без ограничения общности считаем ф10=1), можно преобра­зовать результаты наблюдений gi так, чтобы исключить из них авторегрессионную составляющую:

аі = 2 Р^-О — (ЗЛ2)

Корреляционная функция Rp случайной последова­тельности определяется через известные Rv по фор­муле

которая получается простым перемножением левых и правых частей формулы (3.12) для бф и и сумми­

рованием по /. С другой стороны, для последовательно­

сти типа «скользящего среднего»

также, простым., перемножением и суммированием полу­чить Другие формулы ДЛЯ Rp,

и

". к = 2 Ро Pj+p ; р=о. — і, • • • — ь. (3.14)

Таким образом имеется система уравнений (3,14), определяющих Ре • Левая часть уравнений задается выражением (3.13). Система (3.14) нелинейна, и реше­ние ее при k> 2 можно получить только численными методами на цифровых вычислительных машинах. Не­единственность решений нелинейной системы (3.14) в практических расчетах не вызывает больших затрудне­ний. Пользуясь правилом попарной перестановки сим­метричных коэффициентов (З); и |3?2_е, можно выбрать такой вариант решения, в котором все (Зд расположены в порядке убывания их модуля. Выбор именно такого варианта решения в качестве наилучшего имеет нагляд­ную физическую интерпретацию, так как влияние на данное 1-е измерение б3’г членов бі_е последовательно­сти б* должно ослабевать с ростом 0.

Решения уравнений (3.11) и (3.14) полностью опре­деляют спектральную плотность последовательности §■, если известны числа h и 12. Условие реализуемости про­цесса, соответствующего. аналитическому представлению (2.3) для спектральной плотности f{%), вводит ограни­чение І2<1і. Таким образом, для каждого 1 необходимо перебирать только (1 — 1) возможных значений величи­ны І2. На вопрос, на каком варианте значений k и h следует остановиться, дает ответ специальный статисти­ческий критерий, обобщающий ранее введенный крите­рий (3.7). Бели при полученных на основании реальной статистики-коэффициентах ф е и ф в представление (2.5) хорошо сглаживает спектральную плотность наблюдае­мой последовательности, то статистика [13]

В формуле (3.15) коэффициенты уе —коэффициен­ты оптимального линейного прогноза случайного. про­цесса Их определяют ПО формуле

I,

70= S Ре [ Pe-eJ-1 . (3.16)

01=0

в которой Г? o_Dl_1 определяется из рекуррентного соот­ношения:

2 eUeU-oJ"

02 — 1

при 0 — 0, 1, 2, … , с учетом Гро]-1 = — к — И 1 = °>

Ро

если ©2<0.

Неравные нулю коэффициенты [рДо, ]_ 1 получаются при любых значениях 0. Поэтому в формуле оптималь­ного линейного прогноза содержится бесконечное число результатов предыдущих измерений £3(_е. Так, модель (ЗЛО) неминуемо приводит к необходимости «беско — нечной памяти о прошлом» для предсказания течения случайного процесса Практически это условие не яв­ляется ограничением, так как ув быстро спадает по величине с ростом 0.

Статистику оц,, можно рассматривать как оценку разброса корреляционных функций при боль­

ших значениях аргумента (р + 0і — 02) относительно усредненной корреляционной функции R-p при малых значениях аргумента (@і — ©2). В формуле (3.15) сум­мирование осуществляется по бесконечному набору ин­дексов ©і и 02, что невозможно реализовать при расче­тах. Суммирование по бесконечному числу индексов порождается бесконечным числом отличных от нуля коэффициентов уе. Конечное число 1 = 1, отличных от нуля уе, получается лишь в том случае, когда h = 0, т. е. когда наблюдается последовательность авторегрес­сионного типа. Поскольку у в о ростом 0 быстро стре­мится к нулю, в формулах (3.15) и (3.3) можно исполь­зовать конечное число членов. Практически при реаль­ном счете для .выбора полиномов, аппроксимирующих f(X), на основании статистики (3.15) и при построении ПрОГНОЗа Следует Принимать 0max = /l+4+1- 6-dS3

На вопрос, допустимо ли представление f(X) в виде постоянной, деленной на полином степени I, т. е. допу­стимо ли полагать 4 = 0, дает ответ сравнение значений статистики со значениями ггн,+/2_і, і wu+h-2,2 •

Значения статистики да/,, 4 при 4=5^2 подсчитываются легко, поскольку решения системы (3.14) при 4^2 имеют не очень громоздкие аналитические выражения;

(Z1 + Z2)2 )

где z^Y #0 + +

z3 = Y Rl-2R + 2Rl

Если уточнение статистики ДО/,, U и коэффициентов 70 при расчетах с 4=2 окажется незначительным, мож­но принимать гипотезу о том, что наблюдается последо­вательность авторегрессионного типа с / = 4+4- Этот эмпирический прием при экспериментальных расчетах на данных эксплуатационного контроля параметров авиадвигателей и навигационных систем позволил уста­новить, что статистика До/ при 4 = 0 отличается от до/,, /2 не более чем на 5 %•

Таким образом, в реальных расчетах необходимо считать, что изменение параметров авиационной техни­ки в эксплуатаций хорошо представляется процессами авторегрессионного типа. Имеющийся опыт обработки собранных данных позволяет также утверждать, что ни в одном из практических расчетов не приходилось принимать 4>4; уточнение коэффициентов уь уг, уз и у4 при учете 4=7^0 никогда не составляло более 8 ■%; при ©тах=4 + 4+1 поправки в расчетах никогда не бы­ли больше 2 % относительно расчетов при ©тах=’4 +